Найти касательную к графику точке. Уравнение касательной

Содержание
  1. Уравнение касательной к графику функции
  2.  
  3. Уравнение касательной
  4. Уравнение касательной к графику функции. краткое описание и основные формулы
  5. ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
  6. Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции
  7. Решаем задачи вместе
  8. Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения
  9. Снова решаем задачи вместе
  10. Уравнение касательной
  11. Геометрический смысл производной в точке и касательной
  12. Уравнение касательной через производную
  13. Уравнение касательной для параболы
  14. Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента
  15. Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной
  16. Касательная к графику функции
  17. Производная функции
  18. Уравнение касательной к графику функции
  19. Геометрический смысл производной

Уравнение касательной к графику функции

Найти касательную к графику точке. Уравнение касательной

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

 

Геометрический смысл производной

Ты уже знаешь что такое производная? Если нет, сперва прочти тему «Производная». Итак, ты говоришь, что знаешь производную. Сейчас проверим. Найди приращение функции   при приращении аргумента, равном  . Справился? Должно получиться  .

А теперь найди производную функции   в точке  . Ответ:  . Получилось? Если в каком-нибудь из этих примеров возникли сложности, настоятельно рекомендую вернуться к теме «Производная» и проштудировать ее еще раз. Знаю, тема очень большая, но иначе нет смысла идти дальше.

Рассмотрим график какой-то функции  :

Выберем на линии графика некую точку  . Пусть ее абсцисса  , тогда ордината равна  . Затем выберем близкую к точке   точку   с абсциссой  ; ее ордината – это  :

Проведем прямую через эти точки. Она называется секущей (прямо как в геометрии). Обозначим угол наклона прямой к оси   как  . Как и в тригонометрии, этот угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.

Какие значения может принимать угол  ? Как ни наклоняй эту прямую, все равно одна половина будет торчать вверх. Поэтому максимально возможный угол –  , а минимально возможный –  . Значит,  . Угол   не включается, поскольку положение прямой в этом случае в точности совпадает с  , а логичнее выбирать меньший угол.

Возьмем на рисунке такую точку  , чтобы прямая   была параллельна оси абсцисс, а   – ординат:

По рисунку видно, что  , а  . Тогда отношение приращений:

(так как  , то   – прямоугольный).

Давай теперь уменьшать  . Тогда точка   будет приближаться к точке  . Когда   станет бесконечно малым  , отношение   станет равно производной функции в точке  . Что же при этом станет с секущей? Точка   будет бесконечно близка к точке  , так что их можно будет считать одной и той же точкой.

Но прямая, имеющая с кривой только одну общую точку – это ни что иное, как касательная (в данном случае это условие выполняется только на небольшом участке – вблизи точки  , но этого достаточно). Говорят, что при этом секущая занимает предельное положение.

Угол наклона секущей к оси   назовем  . Тогда получится, что производная

 ,

то есть производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в данной точке.

Поскольку касательная – это прямая, давай теперь вспомним уравнение прямой:

 .

За что отвечает коэффициент  ? За наклон прямой. Он так и называется: угловой коэффициент. Что это значит? А то, что равен он тангенсу угла между прямой и осью  ! То есть вот что получается:

 .

Но мы получили это правило, рассматривая возрастающую функцию. А что изменится, если функция будет убывающей? Посмотрим: Теперь углы   и   тупые. А приращение функции   – отрицательное. Снова рассмотрим  :  . С другой стороны,  . Получаем:  , то есть все, как и в прошлый раз.

Снова устремим точку   к точке  , и секущая   примет предельное положение, то есть превратится в касательную к графику функции в точке  .

Итак, сформулируем окончательно полученное правило:
Производная функции в данной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или (что то же самое) угловому коэффициенту этой касательной:

Это и есть геометрический смысл производной. Окей, все это интересно, но зачем оно нам? Вот пример:
На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  .

Найдите значение производной функции   в точке  .
Решение.


Как мы недавно выяснили, значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:  .

Значит, для нахождения значения производной нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. На рисунке у нас отмечено две точки, лежащие на касательной, координаты которых нам известны. Так давай достроим прямоугольный треугольник, проходящий через эти точки, и найдем тангенс угла наклона касательной!

Угол наклона касательной к оси   – это  . Найдем тангенс этого угла:  . Таким образом, производная функции   в точке   равна  .
Ответ:  . Теперь попробуй сам:

  1. На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции   в точке  .
  2. На рисунке изображен график функции   и касательная к нему в точке с абсциссой  . Найдите значение производной функции   в точке  .

Ответы:

  1. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс:  . Достроим треугольник со стороной  , лежащей на касательной.

    Угол наклона касательной – это угол, отмеченный зеленым на графике.

    Он тупой  , поэтому его тангенс не получится вычислить так же, как в предыдущем примере (ведь в прямоугольном треугольнике не может быть тупого угла). Применим знания из тригонометрии.

    Интересующий нас угол   является смежным с  . А значит:   Найдем  :  . Значит тангенс угла наклона касательной (а вместе с ним и значение производной в точке касания) равен  .

    Ответ:  .

  2. Здесь ответ равен  . В ЕГЭ такой ответ написать не получится, но мы ведь должны понимать, что математика не ограничена рамками ЕГЭ.

Зная геометрический смысл производной, можно очень просто объяснить правило, что производная в точке локального максимума или минимума равна нулю. Действительно, касательная к графику в этих точках «горизонтальна», то есть параллельна оси абсцисс:
А чему равен угол между параллельными прямыми? Конечно, нулю! А тангенс нуля тоже равен нулю. Вот и производная равна нулю:

 .

Более подробно об этом читай в теме «Монотонность функций. Точки экстремума».

Уравнение касательной

А сейчас сосредоточимся на произвольных касательных. Предположим, у нас есть какая-то функция, например,  . Мы нарисовали ее график и хотим провести касательную к нему в какой-нибудь точке  . Например, в точке  . Берем линейку, пристраиваем ее к графику и чертим:

Что мы знаем об этой прямой? Что самое важное нужно знать о прямой на координатной плоскости? Поскольку прямая – это изображение линейной функции, очень удобно было бы знать ее уравнение. То есть коэффициенты   и   в уравнении

 .

Но ведь   мы уже знаем! Это угловой коэффициент касательной, который равен производной функции в этой точке:

 .

В нашем примере будет так:

Теперь остается найти   . Это проще простого: ведь   – значение   при  . Графически   – это координата пересечения прямой с осью ординат (ведь   во всех точках оси  ):

Проведём   (так, что   – прямоугольный). Тогда  (тому самому углу между касательной и осью абсцисс). Чему равны   и  ? По рисунку явно видно, что  , а  . Тогда получаем:

 .

Соединяем все полученные формулы в уравнение прямой:

Это и есть уравнение касательной к графику функции   в точке  .

Пример:
Найди уравнение касательной к графику функции   в точке  .
Решение:
На этом примере выработаем простой алгоритм действий в подобных задачах:

АлгоритмПример:  ,  
1. Вычислим  
2. Найдём формулу производной функции  
3. Вычислим  
4. Подставим   и   в формулу уравнения касательной  

Теперь реши сам:

  1. Найди уравнение касательной к функции   в точке  .
  2. Касательная к параболе   пересекает ось   под углом  . Найди уравнение этой касательной.
  3. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
  4. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.
  5. Прямая   параллельна касательной к графику функции  . Найдите абсциссу точки касания.

Решения и ответы:

  1. Всё по плану:
    •  .
    •  .
    •  .
    • Поскольку функция на этот раз называется буквой y, то чтобы не запутаться, для касательной введем другую букву:  .
  2. То, что нам известен угол наклона касательной, очень хорошо: ведь его тангенс равен производной функции, а также угловому коэффициенту   касательной. Но тут есть подвох: дело в том, что под углом   ось   могут пересекать две разные касательные: с наклоном «вправо» и «влево»:

    Прямая 2 (та, которая «наклонена влево») с положительным направлением оси   составляет угол   – это и есть угол наклона прямой к оси  . Дальше всё просто:  ,  .
    Прямая 1.  ,  .
    Касательная:  .
    Прямая 2.  ,  .
    Касательная:  .
    Ответ:  ;  .

  3. Абсцисса – это ось  , а значит, нам нужно найти значение   в точке пересечения касательной и графика функции. Из уравнения   мы знаем, что угловой коэффициент наклона касательной равен значению производной в точке касания. Поскольку прямая   параллельна касательной, это значит, что их угловые коэффициенты наклона одинаковые  .

    Согласно правилам вычисления производных, находим производную функции  :
     .
    Теперь приравниваем производную к коэффициенту наклона касательной и находим абсциссу   точки касания:
     
     
     .

    Ответ: .

  4. Ответ:  .
  5. Ответ:  .

Уравнение касательной к графику функции. краткое описание и основные формулы

Геометрический смысл производной

Производная функции в конкретной точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке, или угловому коэффициенту этой касательной:

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции   в точке  :

 .

Алгоритм действий для нахождения уравнения касательной:

АлгоритмПример:  ,  
1. Вычислим  
2. Найдем формулу производной функции  
3. Вычислим  
4. Подставим   и   в формулу уравнения касательной  

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

Уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции

Найти касательную к графику точке. Уравнение касательной

Касательная – это прямая, которая касается графика функции в одной точке и все точки которой находятся на наименьшем расстоянии от графика функции.

Поэтому касательная проходит касательно графика функции под определённым углом и не могут проходить через точку касания несколько касательных под разными углами.

Уравнения касательной и уравнения нормали к графику функции составляются с помощью производной.

Уравнение касательной выводится из уравнения прямой.

Выведем уравнение касательной, а затем – уравнение нормали к графику функции.

Значение производной f '(x0) функции y = f(x) в точке x0 равно угловому коэффициенту k = tgφ касательной к графику функции, проведённой через точку M0(x0, y0), где y0 = f(x0). В этом состоит геометрический смысл производной.

Таким образом, можем заменить k на f '(x0) и получить следующее уравнение касательной к графику функции:

y – y0 = f '(x0)(x – x0).

В задачах на составление уравнения касательной к графику функции (а мы уже скоро к ним перейдём) требуется привести получившееся по вышеприведённой формуле уравнение к уравнению прямой в общем виде. Для этого нужно все буквы и числа перенести в левую часть уравнения, а в правой части оставить ноль.

Теперь об уравнении нормали. Нормаль – это прямая, проходящая через точку касания к графику функции перпендикулярно касательной. Уравнение нормали:

(x – x0) + f '(x0)(y – y0) = 0

Для разминки первый же пример прелагается решить самостоятельно, а затем посмотреть решение. Есть все основания надеяться, что для наших читателей эта задача не будет “холодным душем”.

Решаем задачи вместе

Пример 1. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Теперь у нас есть всё, что требуется подставить в приведённую в теоретической справке запись, чтобы получить уравнение касательной. Получаем

В этом примере нам повезло: угловой коэффициент оказался равным нулю, поэтому отдельно приводить уравнение к общему виду не понадобилось. Теперь можем составить и уравнение нормали:

На рисунке ниже: график функции бордового цвета, касательная зелёного цвета, нормаль оранжевого цвета.

Следующий пример – тоже не сложный: функция, как и в предыдущем, также представляет собой многочлен, но угловой коэффициен не будет равен нулю, поэтому добавится ещё один шаг – приведение уравнения к общему виду.

Пример 2. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Подставляем все полученные данные в “формулу-болванку” и получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду (все буквы и числа, отличные от нуля, собираем в левой части, а в правой оставляем ноль):

Составляем уравнение нормали:

Пример 3. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Находим уравнение касательной:

Перед тем, как привести уравнение к общему виду, нужно его немного “причесать”: умножить почленно на 4. Делаем это и приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Решить задачи самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 4. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Пример 5. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Правильное решение и ответ.

Снова решаем задачи вместе

Пример 6. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Найдём производную функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Распространённая ошибка при составлении уравнений касательной и нормали – не заметить, что функция, данная в примере, – сложная и вычислять её производную как производную простой функции. Следующие примеры – уже со сложными функциями (соответствующий урок откроется в новом окне).

Пример 7. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Внимание! Данная функция – сложная, так как аргумент тангенса (2x) сам является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пример 8. Составить уравнение касательной и уравнение нормали к графику функции , если абсцисса точки касания .

Решение. Найдём ординату точки касания:

.

Как и в предыдущем примере, данная функция – сложная, так как степень () сама является функцией. Поэтому найдём производную функции как производную сложной функции:

.

Найдём значение производной в точке касания, то есть угловой коэффициент касательной:

.

Получаем уравнение касательной:

Приводим уравнение к общему виду:

Составляем уравнение нормали:

Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение

Весь блок “Производная”

Источник: https://function-x.ru/derivative_and_tangent.html

Уравнение касательной

Найти касательную к графику точке. Уравнение касательной

Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.

Определение 1

Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.

Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.

Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.

Определение 2

Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.

Геометрический смысл производной в точке и касательной

Рассмотрим определение касательной подробнее.

Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.

  • Курсовая работа 470 руб.
  • Реферат 230 руб.
  • Контрольная работа 250 руб.

Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.

В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.

Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.

Уравнение касательной через производную

Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.

Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.

Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.

Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:

$k_{секущ.}=\frac{Δy}{Δx}\left(1\right)$.

Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:

$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0}(k_{секущ.})$

Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:

$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}$

Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.

Определение 3

Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке $x$ к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси $OX$, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.

Иначе данное утверждение можно записать как

$k_{кас.}(a)=f’(a)$.

То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.

Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.

Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:

$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) \left(2\right)$,

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная.

Уравнение касательной для параболы

Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе $y=ax2$ в точке $M$ c координатами $(x; y)$.

Придадим этой точке приращение по оси $OX$, равное $Δx$, приращение по оси $y$ тогда составит $y+Δy=a(x+ Δx)2$. Точку с координатами $(x+ Δx; y+Δy)$ назовём $P$.

Теперь чтобы определить тангенс угла секущей $MP$с осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNP$. В нём катет $MN$ равен $Δx$, а второй катет $Δy$ — это приращение ординаты, равное $Δy=a(2x \cdot Δx + Δx2)$.

Выразим используя эти данные тангенс угла $φ$.

$\mathrm{tg}φ=\frac{Δy}{Δx}=2ax + a \cdot Δx$

Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине $Δx$. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:

$\mathrm{tg}φ= \lim_{Δx \to 0}(2ax+a \cdot x)=2ax$.

Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).

Для этого достаточно рассмотреть треугольник $\triangle MPT$, так как отрезок $TP$ будет равен:

$TP=\frac{y}{\mathrm{tg}α}=\frac{ax2}{2ax}=\frac{x}{2}$

То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.

Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента

Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.

Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.

Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.

В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.

Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.

Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. Число $b$ характеризует значение функции $y(x)$ в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке $x=0$.

Пример 1

Составить уравнение касательной в точке $x=3$ для графика функции $y(x)=2×2+3x-6$.

Сначала найдём значение функции в точке $x=3$:

$y=2 \cdot 32 +3 \cdot 3 – 6 = 21$

Теперь определим значение производной для исследуемой функции:

$(2×2+3x-6)’=4x+3$

Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим $x=3$ в производную:

$y’(x)=4 \cdot 3 + 3 = 15$

Подставим это значение в формулу для касательной $(2)$:

$y_{кас.}=21+15 \cdot (x-3)$

$y=15x-24$ — уравнение касательной получено.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/uravnenie_kasatelnoy/

Секущая графика функции. Касательная к графику функции. Производная функции. Геометрический смысл производной

Найти касательную к графику точке. Уравнение касательной

Справочник по математикеЭлементы математического анализаПроизводная функции

      Рассмотрим график некоторой функции   y = f (x),   точки   A= (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   на графике, прямую, проходящую через точки   A   и   B,   и произвольную точку   C = (x; y)   на этой прямой (рис. 1).

Рис.1

      Определение 1. Прямую, проходящую через две произвольные точки графика функции, называют секущей графика функции.

      В соответствии с определением 1 прямая, проходящая через точки   A   и   B   графика функции   y = f (x),   является секущей этого графика.

      Выведем уравнение секущей графика функции.

      Для этого рассмотрим векторы и , координаты которых имеют вид:

      Поскольку векторы и лежат на одной прямой, то справедливо равенство

(1)

где   k   – некоторое число.

      Переписывая равенство (1) в координатах, получим систему (2):

(2)

      Исключая из системы (2) переменную   k ,  получим систему (3):

(3)

второе уравнение которой можно записать в следующем виде

(4)

      Уравнение (4) и является уравнением секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

Касательная к графику функции

      Проведем секущую графика функции   y = f (x),   проходящую через точки   A   и   B   этого графика, и рассмотрим случай, когда точка   A   неподвижна, а точка   B   неограниченно приближается к точке   A   по графику функции   y = f (x)   (рис. 2).

Рис.2

      Неограниченное приближение точки   B   к точке   A   принято обозначать

B → A

и произносить   «B   стремится к   A».

      Заметим, что, если   B → A   для точек   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))  графика функции  y = f (x),   то это означает, что   x1 → x0 .

      Определение 2. Если при   x1 → x0   существует предельное положение секущей графика фукнкции   y = f (x),   то это предельное положение секущей называют касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))  (рис. 3) .

Рис.3

Производная функции

      Определение 3. Если при   x1 → x0   отношение

(5)

входящее в формулу (4), стремится к некоторому числу, то это число называют производной функции   y = f (x) в точке   x0 ,   обозначают   f ′(x0)   или и записывают так:

(6)

Уравнение касательной к графику функции

      Из формул (4) и (6) вытекает следующее

      Утверждение. Если у функции   y = f (x)   существует производная в точке   x0 ,   то к графику функции   y = f (x)   в точке с координатами  (x0;  f (x0))   можно провести касательную, а уравнение этой касательной имеет вид:

y = f′(x0) (x – x0) + f (x0)(7)

Геометрический смысл производной

      Рассмотрим сначала возрастающую функцию   y = f (x)   и проведем секущую графика этой функции, проходящую через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1)) (рис. 4).

Рис.4

      Обозначим буквой   φ   угол, образованный секущей и положительным направлением оси   Ox,   отсчитываемый против часовой стрелки. Тогда угол   BAD   в треугольнике   ABD   на рисунке 4 равен   φ ,   и по определению тангенса угла получаем равенство

(8)

причем по определению углового коэффициента прямой   tg φ   является угловым коэффициентом секущей графика функции   y = f (x),   проходящей через точки   A = (x0;  f (x0))   и   B = (x1;  f (x1))   этого графика.

      Случай, когда функция   y = f (x)   убывает, изображен на рисунке 5

Рис.5

      В этом случае угол   φ  является тупым, причем

то есть формула (8) справедлива и для случая, когда функция   y = f (x)   убывает.

      Отсюда в соответствии с определением производной функции вытекает соотношение:

где буквой   α   обозначен угол, образованный касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   A = (x0;  f (x0))   с положительным направлением оси   Ox   (рис. 6).

Рис.6

      Таким образом, если у функции   y = f (x)   в точке   x0   существует производная, то эта производная равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции   y = f (x)   в точке   (x0;  f (x0)) :

f′(x0) = tg α ,

где угол наклона   α   образован касательной и положительным направлением оси   Ox   и отсчитывается в положительном направлении (то есть против часовой стрелки).

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/matan/tangent.htm

Помощь юриста
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: